عندما تنظر إلى بيئتك المحيطة ، قد يبدو أنك تعيش على متن طائرة مسطحة. بعد كل شيء ، لهذا السبب يمكنك التنقل في مدينة جديدة باستخدام خريطة: قطعة مسطحة من الورق تمثل جميع الأماكن من حولك. هذا هو السبب في أن بعض الناس في الماضي يعتقدون أن الأرض مسطحة. لكن معظم الناس يعرفون الآن أن هذا أبعد ما يكون عن الحقيقة.
أنت تعيش على سطح كرة عملاقة ، مثل كرة الشاطئ بحجم الأرض مع إضافة بعض المطبات. سطح الكرة والطائرة هما مساحتان ثنائيان ممكنان ، مما يعني أنه يمكنك المشي في اتجاهين: الشمال والجنوب أو الشرق والغرب.
ما هي المساحات الأخرى الممكنة التي قد تعيش عليها؟ هذا هو ، ما المساحات الأخرى من حولك ثنائية الأبعاد؟ على سبيل المثال ، سطح الكعك العملاق هو مساحة ثنائية الأبعاد أخرى.
من خلال مجال يسمى الطوبولوجيا الهندسية ، يدرس علماء الرياضيات مثلي جميع المساحات الممكنة في جميع الأبعاد. سواء كانت محاولة تصميم شبكات استشعار آمنة أو بيانات الألغام أو استخدام اوريغامي لنشر الأقمار الصناعية ، فمن المحتمل أن تكون اللغة والأفكار الأساسية هي اللغة.
شكل الكون
عندما تنظر حول الكون الذي تعيش فيه ، يبدو وكأنه مساحة ثلاثية الأبعاد ، تمامًا مثل سطح الأرض يشبه مساحة ثنائية الأبعاد. ومع ذلك ، تمامًا مثل الأرض ، إذا كنت تريد أن تنظر إلى الكون ككل ، فقد تكون مساحة أكثر تعقيدًا ، مثل إصدار عملاق ثلاثي الأبعاد من سطح كرة الشاطئ ثنائي الأبعاد أو شيء أكثر غرابة من ذلك.
على الرغم من أنك لا تحتاج إلى طوبولوجيا لتحديد أنك تعيش على شيء مثل كرة الشاطئ العملاقة ، فإن معرفة جميع المساحات ثنائية الأبعاد يمكن أن تكون مفيدة. منذ أكثر من قرن من الزمان ، اكتشف علماء الرياضيات جميع المساحات 2D الممكنة والعديد من خصائصها.
في العقود القليلة الماضية ، تعلم علماء الرياضيات الكثير عن جميع المساحات ثلاثية الأبعاد الممكنة. على الرغم من أنه ليس لدينا فهم كامل كما نفعل للمساحات ثنائية الأبعاد ، إلا أننا نعرف الكثير. من خلال هذه المعرفة ، يمكن للفيزيائيين وعلماء الفلك محاولة تحديد المساحة ثلاثية الأبعاد التي يعيش فيها الأشخاص بالفعل.
على الرغم من أن الإجابة غير معروفة تمامًا ، إلا أن هناك العديد من الاحتمالات المثيرة للاهتمام والمدهشة. تصبح الخيارات أكثر تعقيدًا إذا كنت تعتبر الوقت بُعدًا.
لمعرفة كيف يمكن أن ينجح ذلك ، لاحظ أنه لوصف موقع شيء ما في الفضاء – قل مذنبًا – تحتاج إلى أربعة أرقام: ثلاثة لوصف موقعه وواحد لوصف الوقت الذي يكون فيه في هذا الموقف. هذه الأرقام الأربعة هي ما يشكل مساحة 4D.
الآن ، يمكنك التفكير في مساحات 4D الممكنة وفي أي من هذه المساحات التي تعيشها.
طوبولوجيا في أبعاد أعلى
في هذه المرحلة ، قد يبدو أنه لا يوجد سبب للنظر في المساحات التي لها أبعاد أكبر من أربعة ، لأن هذا هو أعلى البعد الذي يمكن تخيله قد يصف عالمنا. لكن فرعًا من الفيزياء يسمى نظرية الأوتار يشير إلى أن الكون لديه أبعاد كثيرة أكثر من أربعة.
هناك أيضًا تطبيقات عملية للتفكير حول المساحات العليا الأبعاد ، مثل تخطيط حركة الروبوت. لنفترض أنك تحاول فهم حركة ثلاثة روبوتات تتحرك حول أرضية المصنع في مستودع. يمكنك وضع شبكة على الأرض ووصف موضع كل روبوت من خلال إحداثيات X و Y على الشبكة. نظرًا لأن كل من الروبوتات الثلاثة يتطلب إحداثيين ، ستحتاج إلى ستة أرقام لوصف جميع المواقف الممكنة للروبوتات. يمكنك تفسير المواقف الممكنة للروبوتات كمساحة 6D.
مع زيادة عدد الروبوتات ، يزداد بُعد المساحة. العوملة في المعلومات المفيدة الأخرى ، مثل مواقع العقبات ، تجعل المساحة أكثر تعقيدًا. من أجل دراسة هذه المشكلة ، تحتاج إلى دراسة المساحات عالية الأبعاد.
هناك عدد لا يحصى من المشكلات العلمية الأخرى حيث تظهر مساحات عالية الأبعاد ، من نمذجة حركة الكواكب والمركبة الفضائية إلى محاولة فهم “شكل” مجموعات البيانات الكبيرة.
مربوطة في عقدة
هناك نوع آخر من الذين يدرسون علماء الطوبولوجيون هو كيف يمكن للمساحة أن يجلس داخل آخر.
على سبيل المثال ، إذا كنت تحمل حلقة معقدة من السلسلة ، فلدينا مساحة 1D (حلقة السلسلة) داخل مساحة ثلاثية الأبعاد (غرفتك). وتسمى هذه الحلقات العقدة الرياضية.
نشأت دراسة العقدة أولاً من الفيزياء ولكنها أصبحت مجالًا رئيسيًا للطبولوجيا. إنها ضرورية لكيفية فهم العلماء من المساحات ثلاثية الأبعاد و 4D ولديهم بنية مبهجة ودقيقة لا يزال الباحثون يحاولون فهمها.
بالإضافة إلى ذلك ، تحتوي العقدة على العديد من التطبيقات ، بدءًا من نظرية الأوتار في الفيزياء إلى إعادة تركيب الحمض النووي في علم الأحياء إلى الكيمياء.
ما الشكل الذي تعيش عليه؟
تعتبر الطوبولوجيا الهندسية موضوعًا جميلًا ومعقدًا ، ولا يزال هناك عدد لا يحصى من الأسئلة المثيرة للإجابة على المساحات.
على سبيل المثال ، يسأل تخمين 4D Poincaré السلس ما هي مساحة 4D “أبسط” 4D ، وتهدف تخمين شريحة Ribbon إلى فهم مدى ارتباط العقد في المساحات ثلاثية الأبعاد بالأسطح في المساحات 4D.
الطوبولوجيا مفيدة حاليًا في العلوم والهندسة. سيكون كشف المزيد من أسرار المساحات في جميع الأبعاد لا يقدر بثمن لفهم العالم الذي نعيش فيه ونحل مشاكل في العالم الحقيقي.
جون إيتيري ، أستاذ الرياضيات ، معهد جورجيا للتكنولوجيا
يتم إعادة نشر هذه المقالة من المحادثة بموجب ترخيص المشاع الإبداعي. اقرأ المقال الأصلي.